JSONベースAPIとは、リクエスト・レスポンスのデータ形式がJSON形式であることを強調したAPI。通信プロトコルや設計思想は問わず、単に「JSONで通信する」ことに焦点を当てています。GraphQLやSOAP over JSONなど様々な設計に対応できる汎用的な概念です。
RESTful APIはREST原則に従うアーキテクチャスタイルのAPI。HTTPメソッド（GET・POST・PUT・DELETE）とURIリソースを組み合わせ、ステートレスな設計を採用。キャッシング・標準化・スケーラビリティに優れた業界標準アーキテクチャです。
JSONベースAPIは『データ形式』の話であり、設計思想を指しません。一方RESTful APIは『アーキテクチャ原則』を指し、リソース指向・HTTPメソッド活用・ステートレスが必須です。使う場面では、シンプルなデータ送受信ならJSONベース、Webサービスの標準的な設計ならRESTful APIが適切。RESTful APIは自動的にJSON形式も採用することが多いため、RESTful APIはJSONベースAPIの上位概念と言えます。
迷ったときはRESTful APIを選ぶべきです。Webアプリ・モバイルアプリの標準はRESTful。シンプルなデータ通信のみならJSONベース。複雑なクエリはGraphQL（JSONベース）も検討。チーム・プロジェクト・保守性を総合判断してください。