波動方程式とは、波が空間と時間の中でどのように伝わるかを記述する偏微分方程式です。音波、光波、地震波など、様々な波現象を数学的にモデル化します。2階の時間微分と2階の空間微分を含み、波の速度を決定する係数を持つ形をしています。
偏微分方程式とは、複数の独立変数を持つ関数の偏微分を含む方程式の総称です。自然現象の大部分を支配する基本的な数学ツールで、熱伝導、流体力学、量子力学など広範な分野で使用されます。1階から高階まで様々な種類が存在します。
波動方程式は偏微分方程式の部分集合です。偏微分方程式は複数の変数に関する微分方程式全般を指す広い概念で、熱方程式やシュレディンガー方程式も含みます。一方、波動方程式は振動・波の伝播という特定の物理現象に限定された、より狭く専門的な方程式を指します。
波動現象（音波、光波、地震波など）を扱う場合は波動方程式と明記します。それ以外の物理現象や一般的な微分方程式の議論では偏微分方程式を使用するべきです。