Visual Studioはマイクロソフト社が開発した統合開発環境です。C#、C++、Pythonなど多言語に対応し、デバッグ、コンパイル、デプロイメントなど開発に必要な機能を備えています。業界標準として広く採用されており、Enterprise版から無料のCommunity版まであります。
IDE（Integrated Development Environment）は統合開発環境の総称です。プログラミング、コンパイル、デバッグなど開発に必要な機能を統合したソフトウェアの総和です。Visual Studio、Eclipse、IntelliJ IDEAなど様々な製品がIDEに分類されます。
Visual Studioは特定のマイクロソフト製品を指すのに対し、IDEは開発環境ツール全般の概念です。Visual Studioを使う場面はWindows開発やC#開発が中心ですが、IDEは言語やプラットフォーム問わず幅広い開発で使われます。つまりVisual StudioはIDEの一種であり、IDEはVisual Studioを含む上位概念です。
マイクロソフト製品開発やC#を使うならVisual Studioを選びましょう。特定言語やプラットフォーム問わず汎用的に使いたい場合はIDE全般から最適なツールを探します。