Hibernateは英語の動詞で、冬の間活動を休止・休眠することを意味します。動物だけでなく、コンピュータシステムが低消費電力状態に移行することもHibernateと表現します。冬季休業や越冬を広く指す汎用的な用語です。
冬眠は日本語の名詞で、冬の間体温を低下させて休止状態に入る動物の生理現象を指します。クマやヘビなどが典型例。生物学的・自然科学的な現象として使われる専門性の高い用語です。
Hibernateは英語で多角的用途がある汎用語で、動物・機械・組織など様々な対象に使用可能。冬眠は日本語で動物の生物学的現象に限定。Hibernateはビジネス用語としても用いられ、冬眠はより自然現象に特化しています。
動物の自然な生理現象なら「冬眠」。英語文脈やコンピュータ関連なら「Hibernate」。日本語で一般向けに説明する際は「冬眠」を選ぶほうが分かりやすいです。