ES6はECMAScript 6の略で、JavaScriptの非公式な呼び名です。2015年にリリースされた大規模アップデート仕様を指します。クラス、アロー関数、モジュール機能など革新的な機能が多数追加されました。業界や開発者の間で広く使われた呼称です。
ES2015はECMAScript 2015の公式名称で、年号ベースの命名法です。TC39が採用した標準化命名規則に基づいています。ES6と同一の仕様ですが、その後のバージョン管理と区別するため、より正確で将来性のある呼び方として位置付けられています。
ES6は非公式な通俗名で、技術ブログやコミュニティで広く使われています。ES2015は公式な正式名称で、ECMAScriptの標準ドキュメントや公式資料で採用されています。現在、年号ベース命名法が標準化されたため、ES2015の呼び方が推奨されます。どちらも同じ仕様を指すため、機能面での違いはありません。
正式な技術文書や公式資料ではES2015、技術ブログやコミュニティでの会話ではES6が一般的です。どちらを使っても理解されますが、より正確さが求められる場ではES2015の使用がおすすめです。