「身が引き締まる思い」は、緊張感や責任感を感じて心が引き締まるという心理状態を表現します。実際の身体変化というより、心理的な感覚を「思い」という言葉で強調した表現です。やや文語的で格調高い印象があります。
「身が引き締まる」は、緊張や恐怖、責任感などにより、身体が物理的に引き締まる感覚と心理状態の両方を表します。より直接的で日常的な表現で、身体と心の両面の変化を含みます。
「思い」が付くと心理的な感覚を強調し、精神的な引き締まりを表現する傾向があります。付かないと身体的な緊張感も含めた総合的な変化を示します。使う場面としては、前者は改まった文語的表現で、後者は日常会話や文語両方で使えます。ニュアンスでは、前者はやや上品で抽象的、後者はより具体的で身近です。
心理的な感覚を格調高く表現したい場合は「思い」を付ける。身体の緊張感を含めた自然な表現なら「思い」なしを選ぶ。改まった文章では「思い」付き、会話では「思い」なしがより自然です。