継続とは、ある動作や行為を途切れることなく続けることを意味します。能動的に何かを続ける印象が強く、努力や意思によって続けられるものが対象です。「勉強を継続する」「運動を継続する」など、人間の行動や取り組みに用いられることが多いです。
持続とは、ある状態や性質、条件が変わらないまま続くことを意味します。能動性が弱く、自然に続く或いは保つニュアンスがあります。物理的な状態や抽象的な状況、環境が対象となり、「平和が持続する」「効果が持続する」のように用いられます。
継続は人間の主体的な行動や努力を強調し、「続ける」という動的プロセスに焦点があります。持続は状態の維持を強調し、「続いている」という静的な状況に焦点があります。使う場面では、継続は能動的な取り組みに、持続は自然な状態の維持に使われます。対象も、継続は行為・活動、持続は状態・条件・効果など、より広範囲です。
主語が「人間の行動」なら継続、「状態や条件」なら持続を選びます。「〜し続ける」と言い換えられれば継続、「〜のまま続く」なら持続が適切です。能動性の有無が判断の鍵になります。