「終わり」は、物事が途中で止まる、期間が尽きる、完結するという広い意味の終了を指す。単純に「もう終わった」という状態や時点を表し、必ずしも目的達成を含まない。日常的でカジュアルな表現。
「完了」は、与えられた任務や目的が最後まで成し遂げられた状態を表す。「完」と「了」の字が示す通り、最終的に完全に成し遂げられたことを強調する。やや改まった、ビジネス的な表現。
使う場面：「終わり」は日常会話や単純な終了を表し、「完了」は目的達成や業務成果を述べる際に用いられる。ニュアンス：「終わり」は中立的だが、「完了」は成功・達成の含意を持つ。対象：「終わり」は時間や期間にも使うが、「完了」は作業や目標といった具体的な対象に限定される傾向にある。
目的達成や業務完了を報告する場合は「完了」を。単に時間や活動が終わったことを表す場合は「終わり」を選ぶ。改まった場面では「完了」、日常会話では「終わり」が自然。