矛盾とは、同時に真となることができない二つの事柄や主張が存在する状態です。日常会話でもよく使われ、ある人の言動が一貫性を欠く場合や、相反する二つの事実が共存する場合を指します。比較的広い範囲で使える表現です。
二律背反とは、哲学用語で、二つの命題が論理的に両立不可能である関係を指します。より厳密で理論的な概念で、どちらか一方は必ず真でなければならない状態です。学問的・哲学的文脈で用いられることが多いです。
矛盾は日常的な対立や不一致を広く指し、単なる相反関係を含みます。一方、二律背反は論理学や哲学における厳密な概念で、必然的に両立不可能な状態です。矛盾は事実や発言の矛盾に使い、二律背反は原理的・論理的な対立に使う傾向があります。二律背反の方がより格式的で理論的です。
日常的な不一致なら「矛盾」、論理的・原理的な対立を厳密に述べる場合は「二律背反」を選びます。哲学や学問的議論では「二律背反」、日常会話や実務では「矛盾」が無難です。