「発進」は主に乗り物（車・電車・飛行機など）が静止状態から動き始める行為を指します。やや書き言葉的で、交通・運送業界で頻繁に使われる専門的な表現です。物理的な移動開始に限定される傾向があります。
「スタート」は英語の「start」に由来する外来語で、あらゆる事柄の開始・開幕を広く意味します。乗り物の出発から、プロジェクト・競技・放送など抽象的な事柄まで対象が広く、日常会話で頻繁に用いられます。
使う場面：発進は乗り物の移動開始に限定的、スタートは事象全般に適用可能です。ニュアンス：発進は技術的・正式な印象、スタートはカジュアルで親しみやすい印象です。対象：発進は物理的移動、スタートは物理的・抽象的双方に対応します。また、「新プロジェクトがスタートした」と言いますが、「発進」では不自然です。
乗り物の出発なら「発進」、それ以外の事柄の開始や日常会話では「スタート」が適切です。乗り物の場合でも「出発」でも良い場合が多いです。より正式・技術的なら「発進」、より日常的なら「スタート」を選びましょう。