活用（かつよう）は、あるもの・能力・知識などを実際に使って、その価値を引き出し役立てることを指します。既にあるリソースを有効に生かす際に用いられ、一時的な使用から継続的な利用まで幅広い場面で使われます。積極的に活かすというニュアンスが強いです。
運用（うんよう）は、仕組み・制度・資金・組織などを継続的に管理し、実際に動かしながら維持・遂行することを指します。計画に基づいて継続的に管理・実行する側面が強く、安定的な継続運営が重点となります。
活用は既存のもの・能力を「使って役立てる」ことに焦点があり、使う対象は知識・技能・資源・特性など多岐にわたります。一方、運用は「仕組みや制度を動かし管理する」ことに焦点があり、対象はシステム・資金・組織など枠組み的なものが多いです。活用は柔軟で創意的な使い方を示唆し、運用は計画的で継続的な管理を示唆します。
個人の能力や物的資源を「生かす」場面では活用、組織・制度・資金などを「管理・継続実行」する場面では運用を使います。単なる使用なら活用、継続的管理が必要なら運用と判断しましょう。