永続とは、一度始まったものが途絶えることなく、永遠に続くという意味です。終わりがない、無限性を強調します。時間的な限定がなく、絶対的・本質的に続くイメージです。建築物や制度、愛情など、長期的に変わらず続く対象に使われることが多いです。
継続とは、すでに始まっている状態や活動が途切れずに続くという意味です。中断されずに進行し続けることを指します。期間は限定的でもよく、比較的短期から中期の範囲で使われることも多いです。努力や仕事、治療など、意志的に続ける行為に用いられやすいです。
永続は無限性・終わりのなさを強調し、時間的制限がない状態を指します。継続は現在進行中の状態が続くことで、期間が明確でなくても構いません。使用場面では、永続は制度や愛情など本質的なもの、継続は取り組みや努力など意志的な行為に用いられます。永続は受動的・客観的、継続は能動的・主観的なニュアンスです。
終わりがなく永遠に続く対象なら「永続」、現在続いている状態や意志的な行為なら「継続」を選びましょう。制度・組織は永続、習慣・治療は継続が適切です。