「気が済む」は心理的な満足や充足感が得られることを意味します。感情的・主観的で、心がすっきりする、心が満たされるというニュアンスです。必ずしも論理的根拠は不要で、自分の気持ちが満足すればよいのが特徴です。
「納得する」は相手の説明や主張を理解し、それが合理的・妥当だと認めることです。論理的・客観的で、理性を使って判断します。根拠や理由を伴い、頭で理解して同意することが特徴です。
「気が済む」は感情中心で、心理的な満足が目的。対象は自分の欲求や願いなど主観的なもの。一方「納silon」は理性中心で、論理的な理解が目的。対象は説明・主張など客観的なもの。同じ状況でも、気が済むは「やりたいことをやった」、納得は「理由が分かって同意した」と異なる心的状態を表します。
心理的満足や欲求が中心なら「気が済む」。理由や根拠の理解が重要なら「納得する」を選びます。感情的か論理的かで判断すると使い分けやすいです。