機捷は「機敏」と「素早さ」の造語で、反応や判断が敏感で、動きが素早い状態を指します。組織や個人の能力・性質として、状況への対応力と速さを併せ持つことを表現します。やや文語的で古い表現です。
迅速は「迅い」（すみやかな）と「速い」で、物事の進行や処理が素早いことを意味します。行動や処理のスピードに焦点を当て、現代日本語でよく使われる一般的な表現です。ビジネスや日常会話でも広く用いられます。
機捷は個人や組織の機敏さという能力・特性を表し、やや文語的・古典的です。対象は人や組織の質として使われます。迅速は行動や処理そのものが素早いことを指し、現代的で一般的です。対象は行動・対応・処理など動作に使われることが多いです。ニュアンスとしても、機捷は優れた能力、迅速は単なる速さです。
現代日本語では迅速がより一般的です。能力や性質としての素早さなら機捷、行動や処理のスピードなら迅速を選びます。ビジネス文書では迅速を、文語的な表現では機捷を使い分けるとよいでしょう。