支持とは、ある意見・政策・人物などに対して同意し、それを支える・応じることです。より理性的で判断的なニュアンスが強く、政治的立場や方針など抽象的な対象に用いられることが多いです。相手の考えや方針が正しいと認める態度を表します。
応援とは、相手の努力や活動を励まし、力を貸して後押しすることです。より感情的で熱意的なニュアンスが強く、スポーツ選手やアーティストなど具体的な人物・団体を対象とすることが多いです。相手の成功を願う積極的な姿勢を表します。
使う場面：支持は政治的意見や政策など理性的判断が必要な場面、応援はスポーツや音楽など感情的盛り上がりがある場面で使われます。ニュアンス：支持は冷静で同意的、応援は熱情的で励まし的です。対象：支持は意見・立場・候補者など抽象的概念が対象、応援は人・チーム・作品など具体的対象が中心です。
理性的な同意や賛成なら「支持」、人や団体を励ましたり盛り上げたりするなら「応援」を選びます。政治的文脈では「支持」が、スポーツ・芸能関連では「応援」が標準的です。