延伸（えんしん）は、既に存在するものを時間的または空間的に伸ばして長くすることです。鉄道路線の延伸や事業期間の延伸など、線的・一方向的な拡大を意味します。原型を保ちながら端を延ばす点が特徴です。
拡張（かくちょう）は、範囲や規模、容量などを広げることです。面的・多次元的な広がりを指し、事業分野の拡張やシステム容量の拡張など、より幅広い対象に使えます。より積極的な広がりのニュアンスです。
延伸は既存物の端を線的に伸ばす一方向的な拡大です。拡張は範囲や規模を多次元的に広げる広義の拡大です。延伸は交通インフラや期間など具体的・物理的対象に、拡張は事業・サービス・概念など抽象的対象にも使えます。延伸は現状維持の延長的、拡張はより主体的で戦略的なニュアンスを持ちます。
時間や線路など一方向に伸ばす場合は延伸。事業規模や範囲を広げる場合は拡張が適切です。物理的な長さ・距離なら延伸、抽象的な規模・範囲なら拡張と判断すると選びやすいです。