「定着」は、人や物・事柄が一定の場所や状態に安定して落ち着くことを意味します。浅く広く定着する傾向があり、比較的短期間で成立することが多いです。習慣や制度、技術など、あらゆる対象に用いられます。
「根付く」は、樹木が根を張るように、深く強く定着することを意味します。時間をかけて文化や習慣が社会に浸透し、容易には動揺しない状態になることを表します。より深い、本質的な定着を示唆します。
【使う場面】定着は客観的な現象の安定化全般に用い、根付くは精神文化や伝統など深層的な浸透に用います。【ニュアンス】定着は中立的で機械的、根付くは価値観や信念の内面的な受容を含みます。【対象】定着は技術や制度など広範囲、根付くは文化・価値観・習慣など精神的側面に適切です。
安定した状態になったことを述べるなら「定着」、文化や価値観が深く浸透したことを述べるなら「根付く」を選びます。時間経過の深さと対象の精神性で判断してください。