「初期」は、一定の期間や段階の最初の部分を指す。発展や進行が前提にあり、複数の段階がある過程における第一段階を表す。時間的な幅を持つ概念で、やや形式的・学術的な表現。
「始め」は、何かが開始する瞬間や、最初の部分を指す。より広く、あらゆる事象や行為の開始点を表す。日常会話でも文語でも使え、時間的な幅は問わない。より一般的で日常的な表現。
「初期」は発展や進化が予定された過程の第一段階を指すため、必ず後続段階が想定される。「始め」は単純な開始点であり、後続段階の有無は問わない。「初期」は企業・製品・病状など段階的変化を伴う対象に適し、「始め」は時間や物語の開始点など広範に使える。
段階的な発展が予定される場合や、複数の時期を区別する文脈では「初期」を使う。単に開始点や最初の部分を示す場合、または日常会話では「始め」を選ぶ。