凌ぐ（しのぐ）は、困難や苦しい状況に対して、その場をやり過ごす、一時的に対処する、という意味。完全な解決ではなく、何とか持ちこたえる、切り抜けるという受動的なニュアンスが強い。時間的な経過による対処を含むことが特徴。
乗り越える（のりこえる）は、困難や課題に立ち向かい、それを克服して先へ進む、という意味。積極的に問題を解決し、困難を完全に超越するニュアンスが強い。成長や達成を伴うことが多い。
場面：凌ぐは当面の危機への一時的対処（経済難をしのぐ）、乗り越えるは困難の完全な克服（試験に乗り越える）。ニュアンス：凌ぐは受動的でしのぎ的、乗り越えるは能動的で達成的。対象：凌ぐは一時的な難しさ（食料不足など）、乗り越えるは人生の大きな関門や心理的障壁（喪失感など）に使うことが多い。
凌ぐ＝一時的な対処や持ちこたえ、乗り越える＝最終的な解決や克服。状況が時間で解決するなら凌ぐ、主体的に乗り越す必要があれば乗り越えるを選ぶ。