ダービーは競馬用語が起源で、特に日本では中央競馬の主要レース（日本ダービー）を指す。また広く、対抗する者同士の競い合い、特に定期的な対抗戦や熾烈な競合関係を意味する。スポーツやビジネスでも使われる。
競争は、複数の者が共通の目標に向かって優劣や成績を競い合う行為全般を指す。学習、仕事、スポーツなど様々な場面で使える広義の言葉。勝敗や順位を争う一般的な状況を表現する。
ダービーは競馬や対抗戦など特定の文脈で使う専門性の高い言葉で、対象が限定的です。一方、競争は日常生活から仕事、スポーツまで広く使える汎用的な言葉です。ダービーはより格式高く、華やかなイメージを持ちます。競争は中立的で学問的な表現です。
競馬や定期的な対抗戦を指す場合、または華やかさや対抗意識を強調する時はダービーを使用。それ以外の優劣を争う広い場面では競争を使うのが適切です。