「ぐずぐず」は副詞で、物事を手早くせず、ぐずついた状態を描写します。準備や返答など、行動全般が遅いことを指し、大人にも子どもにも使えます。時間をかけてゆっくり進む、または躊躇する様子を表現します。
「ぐずる」は動詞で、主に子どもや幼い人が泣いたり、駄々をこねたり、言うことを聞かない状態を表します。感情的で不機嫌な振る舞いを指し、対象は子どもに限定されることが多いです。
使う場面が異なります。「ぐずぐず」は行動の速度や進捗に関する客観的な遅さを表し、大人の仕事や日常の様々な場面で使えます。一方「ぐずる」は子どもの感情的な不満や抵抗を表し、しつけや育児の文脈で使われます。ニュアンスでは、「ぐずぐず」は中立的で、「ぐずる」はやや否定的です。
行動が遅い場合は「ぐずぐず」、子どもが泣いたり言うことを聞かない場合は「ぐずる」と使い分けます。対象が子どもでも、行動の遅さなら「ぐずぐず」、感情的な抵抗なら「ぐずる」です。